8. Sınıf Üslü İfadelerde Çarpma ve Bölme İşlemi Çözümlü Test Soruları

Pay kısmındaki üslü ifadelerin tabanları aynı olduğu için üsler toplanır:
3^{4 + 4 + 4 + 4} = 3¹⁶.
Paydadaki ifadelerin tabanları aynı olduğu için üsler toplanır:
9^{1 + 3} = 9⁴.
İşlem şu hâle gelir: $\frac{3^{16}}{9^4}$
Paydadaki 9 sayısını 3 tabanında yazalım:
9 = 3² olduğundan 9⁴ = (3²)⁴ = 3⁸ olur.
Bölme işlemi yapılırken üsler çıkarılır:
$\frac{3^{16}}{3^8}$ = 3^{16 - 8} = 3⁸.

Pay kısmındaki üslü ifadelerin üsleri aynı olduğu için tabanlar çarpılır:
5⁴ · 2⁴ = (5 · 2)⁴ = 10⁴.
İşlem şu hâle gelir:
$\frac{{10}^4}{{10}^{-2}}$
Bölme işleminde tabanlar aynı olduğu için payın üssünden paydanın üssü çıkarılır:
10^{4 − (−2)} = 10^{4 + 2} = 10⁶

Bölünen sayı 16⁻³ ve bölen sayı 2⁻⁴’tür.
Bölme işlemini $\frac{{16}^{-3}}{2^{-4}}$ şeklinde yazabiliriz.
16 sayısını 2 tabanında yazalım:
16 = 2⁴ olduğundan 16⁻³ = (2⁴)⁻³ = 2⁻¹² olur.
İşlemi tekrar yazarsak:
$\frac{2^{-12}}{2^{-4}}$
Tabanlar aynı olduğu için payın üssünden paydanın üssü çıkarılır:
2^{−12 − (−4)} = 2^{−12 + 4} = 2⁻⁸

Pay kısmındaki üslü ifadelerin tabanları aynı olduğu için üsler toplanır:
3^{−6 + (−2)} = 3⁻⁸ olur.
Paydadaki 9 sayısını 3 tabanında yazalım:
9 = 3² olduğundan 9⁻² = (3²)⁻² = 3⁻⁴ olur.
İşlem şu hâle gelir:
$\frac{3^{-8}}{3^{-4}}$
Tabanlar aynı olduğu için payın üssünden paydanın üssü çıkarılır:
3^{−8 − (−4)} = 3^{−8 + 4} = 3⁻⁴

Bir sayının diğerinin kaç katı olduğunu bulmak için bölme işlemi yapılır:
$\frac{{20}^8}{2^{16}}$
20 sayısını çarpanlarına ayıralım:
20 = 4 · 5 = 2² · 5.
20⁸ = (2² · 5)⁸ = (2²)⁸ · 5⁸ = 2¹⁶ · 5⁸ olur.
Bu ifadeyi yerine yazarsak:
$\frac{2^{16}·5^8}{2^{16}}$
Pay ve paydadaki 2¹⁶ ifadeleri sadeleşir ve geriye 5⁸ kalır.

İşlemdeki tüm tabanları en sade hâli olan 2 tabanında yazalım.
16³ = (2⁴)³ = 2¹² olur.
4⁻² = (2²)⁻² = 2⁻⁴ olur.
Bölme işlemini tekrar yazalım:
$\frac{2^{12}·2^{-4}}{2^{-5}}$
Önce pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım. Tabanlar aynı olduğu için üsler toplanır:
2^{12 + (−4)} = 2⁸.
Şimdi bölme işlemini yapalım:
$\frac{2^8}{2^{-5}}$
Tabanlar aynı olduğu için payın üssünden paydanın üssü çıkarılır:
2^{8 − (−5)} = 2^{8 + 5} = 2¹³

Verilen ondalık gösterimi üslü ifade olarak yazalım:
0,03 = 3 · 10⁻².
Bu ifadeden yan yana 3 tane çarpıldığı için küpünü almalıyız:
(3 · 10⁻²)³
Üssü hem 3 sayısına hem de 10⁻² ifadesine dağıtalım:
3³ · (10⁻²)³
Üssün üssü çarpılacağından:
3³ · 10⁻⁶

İşlemi iki parça hâlinde inceleyelim.
Birinci kısım: $\frac{{81}^{-1}}{9^{-1}}$ işleminde üsler aynı olduğu için tabanlar birbirine bölünür:
${\left(\frac{81}{9}\right)}^{-1}$ = 9⁻¹ olur. 9⁻¹ = (3²)⁻¹ = 3⁻² şeklinde yazılabilir.
İkinci kısım: $\frac{{125}^2}{{25}^4}$ işleminde tabanları 5 yapalım:
125 = 5³ ve 25 = 5²’dir.
$\frac{{\left(5^3\right)}^2}{{\left(5^2\right)}^4}$ = $\frac{5^6}{5^8}$ = 5^{6 − 8} = 5⁻² elde edilir.
Şimdi bu iki sonucu çarpalım: 3⁻² · 5⁻²
Üsler aynı olduğu için tabanlar çarpılır:
(3 · 5)⁻² = 15⁻² olur.
Negatif üsten kurtulmak için ifadeyi ters çevirirsek: $\frac{1}{{15}^2}$ bulunur.

Eşitlikteki tüm sayıları 3 tabanında yazalım.
$\frac{1}{81}$ = $\frac{1}{3^4}$ = 3⁻⁴ olur.
9 sayısı ise 3²’dir.
Eşitliği tekrar yazalım:
3⁻⁴ = 3² · 3^x
Eşitliğin sağ tarafında tabanlar aynı olduğu için üsleri toplayalım:
3⁻⁴ = 3^{2 + x}
Tabanlar birbirine eşit olduğuna göre üsler de eşit olmalıdır:
−4 = 2 + x
Buradan x = −4 − 2 = −6 bulunur.

İşlemdeki 1000 ve 100 sayılarını 10 tabanında yazalım.
1000⁻³ = (10³)⁻³ = 10⁻⁹ olur.
100⁻⁴ = (10²)⁻⁴ = 10⁻⁸ olur.
Bu değerleri yerine yazalım: $\frac{{10}^4·{10}^{-9}}{{10}^{-8}}$
Önce pay kısmındaki çarpmayı yapalım (üsler toplanır):
10^{4 + (−9)} = 10⁻⁵.
Şimdi bölme işlemini yapalım:
$\frac{{10}^{-5}}{{10}^{-8}}$
Tabanlar aynı olduğu için payın üssünden paydanın üssünü çıkaralım:
10^{−5 − (−8)} = 10^{−5 + 8} = 10³ bulunur.

Eşitliğin sol tarafında 5 tane x sayısının çarpımı vardır, bu x⁵ olarak yazılır.
Sağ tarafındaki $\frac{1}{2}$ kesrini 2⁻¹ olarak ifade edelim.
Bu durumda sağ taraf:
(2⁻¹)⁻⁵ = 2^{(−1) · (−5)} = 2⁵ olur.
Eşitliği tekrar kuralım: x⁵ = 2⁵
Üsler eşit ve tek sayı olduğu için tabanlar da doğrudan birbirine eşittir, buradan x = 2 bulunur.

Bir sayının kaç basamaklı olduğunu bulmak için sayıyı 10’un kuvveti şeklinde (10ⁿ) yazmalıyız.
Bunun için tabanları 2 ve 5 olacak şekilde düzenleyelim.
8⁴ = (2³)⁴ = 2¹² olur.
25⁶ = (5²)⁶ = 5¹² olur.
İşlemi tekrar yazalım: 2¹² · 5¹²
Üsler aynı olduğu için tabanlar çarpılır:
(2 · 5)¹² = 10¹².
10¹² sayısı, 1 rakamının yanına 12 tane 0 (sıfır) eklendiği anlamına gelir.
Dolayısıyla sayı 1 + 12 = 13 basamaklıdır.

İşlemdeki tüm sayıları 3 tabanında yazarak sadeleştirelim.
27⁴ = (3³)⁴ = 3¹²
9⁷ = (3²)⁷ = 3¹⁴
81⁻³ = (3⁴)⁻³ = 3⁻¹²
Buna göre pay kısmı: 3⁻⁹ · 3¹² = 3^{−9 + 12} = 3³ olur.
Payda kısmı: 3¹⁴ · 3⁻¹² = 3^{14 + (−12)} = 3² olur.
Şimdi bulduğumuz değerleri bölelim:
$\frac{3^3}{3^2}$ = 3^{3 − 2} = 3¹ = 3

Önce pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım. Tabanlar aynı olduğu için üsler toplanır:
21^{12 + (−4)} = 21⁸.
Şimdi paydadaki 49 sayısını 7 tabanında yazalım:
49⁴ = (7²)⁴ = 7⁸ olur.
Bölme işlemi şu hâle gelir: $\frac{{21}^8}{7^8}$
Üsler aynı olduğu için payın tabanı paydanın tabanına bölünür:
${\left(\frac{21}{7}\right)}^8$ = 3⁸ elde edilir.
Eşitliğe göre: 3⁸ = 3^x olduğundan, tabanlar eşitse üsler de eşittir ve x = 8 bulunur.

Bir bütünü eş parçalara ayırmak bölme işlemi gerektirir.
Tahtanın başlangıçtaki uzunluğu 5⁷ cm olarak verilmiştir.
Önce 25 eş parçaya bölündüğü için: $\frac{5^7}{25}$ işlemini yapmalıyız.
25 = 5² olduğundan: $\frac{5^7}{5^2}$ = 5^{7 − 2} = 5⁵ cm (ilk kesim sonrası bir parçanın uzunluğu).
Daha sonra bu parçalar da 125 eş parçaya bölünüyor.
Bu yüzden 5⁵ değerini 125’e bölmeliyiz: $\frac{5^5}{125}$
125 = 5³ olduğundan:
$\frac{5^5}{5^3}$ = 5^{5 − 3} = 5² cm bulunur.