8. Sınıf Üslü İfadelerde Çarpma ve Bölme İşlemi Konu Anlatımı

Önce Hatırlayalım: Üslü İfade Nedir?

Bir sayının kendisiyle tekrar tekrar çarpımını kısa yoldan yazmak için üslü ifade kullanırız. aⁿ ifadesinde a sayısına taban, n sayısına üs ya da kuvvet denir. Üs, tabanın kaç kez çarpıldığını gösterir.

Sıfırıncı Kuvvet

Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1’dir. Bu kuralın nedenini bölme konusunda birlikte keşfedeceğiz.

• 17⁰ = 1
• (−9)⁰ = 1
• ${\left(\frac{3}{8}\right)}^0$ = 1
• 0⁰ ifadesi tanımsızdır.

Negatif Kuvvet

Bir sayının negatif kuvveti, o sayının çarpma işlemine göre tersinin pozitif kuvvetine eşittir. Yani üs negatifse sayı kesrin paydasına iner ve üs pozitif olur.

a⁻ⁿ = $\frac{1}{a^n}$ (a ≠ 0)

Aşağıdaki tabloda 2’nin kuvvetleri her adımda 2’ye bölünerek azalıyor. Bu desen negatif üslerin neden kesir olduğunu çok güzel gösterir:

• 5⁻² = $\frac{1}{5^2}$ = $\frac{1}{25}$
• 10⁻⁴ = $\frac{1}{{10}^4}$ = $\frac{1}{10000}$
• (−3)⁻³ = $\frac{1}{{(-3)}^3}$ = −$\frac{1}{27}$

Negatif Tabanda Parantezin Önemi

1. Kural: Tabanları Aynı Olan Üslü İfadelerde Çarpma

3² · 3⁴ işlemini açık hâlde yazalım:

(3 · 3) · (3 · 3 · 3 · 3) = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3⁶

Toplam 2 + 4 = 6 tane 3 çarpılmış oldu. Demek ki tabanlar aynı ise taban ortak yazılır, üsler toplanır.

a^m · aⁿ = a^{m + n}

Tabanlar Farklı Ama Aynı Tabana Çevrilebiliyorsa

Bazı sorularda tabanlar ilk bakışta farklı görünür. Sayıları aynı tabanın kuvveti olarak yazarsak kuralı yine kullanabiliriz.

Bilinmeyen Üssü Bulma

Tabanları aynı olan iki üslü ifade birbirine eşitse üsleri de eşittir. Bu bilgiyle denklem kurabiliriz.

1. 3^x · 3⁴ = 3¹¹
   → 3^{x + 4} = 3¹¹
   → x + 4 = 11 → x = 7
2. 5^a · 5² = 125
   → 5^{a + 2} = 5³
   → a + 2 = 3 → a = 1
3. 2ⁿ · 2⁵ = $\frac{1}{2}$
   → 2^{n + 5} = 2⁻¹
   → n + 5 = −1 → n = −6

2. Kural: Üsleri Aynı Olan Üslü İfadelerde Çarpma

2³ · 5³ işlemini açalım ve çarpanları ikişer ikişer gruplayalım:

(2 · 2 · 2) · (5 · 5 · 5) = (2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5) = 10³

Üsler aynı ise tabanlar çarpılır, ortak üs aynen yazılır.

aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ

3. Kural: Tabanları Aynı Olan Üslü İfadelerde Bölme

3⁶ ÷ 3² işlemini kesir olarak yazıp sadeleştirelim:

$\frac{3·3·3·3·3·3}{3·3}$ = 3 · 3 · 3 · 3 = 3⁴

Paydaki 6 tane 3’ün 2 tanesi paydadakilerle sadeleşti, geriye 6 − 2 = 4 tane 3 kaldı. Tabanlar aynı ise paydaki üsten paydadaki üs çıkarılır.

a^m ÷ aⁿ = a^{m − n} (a ≠ 0)

4. Kural: Üsleri Aynı Olan Üslü İfadelerde Bölme

Üsler aynı ise tabanlar bölünür, ortak üs aynen yazılır.

aⁿ ÷ bⁿ = (a ÷ b)ⁿ = ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n$ (b ≠ 0)

Karışık İşlemler: Kuralları Birlikte Kullanalım

Sınavlarda kurallar genellikle bir arada sorulur. İşlemleri sırayla ve adım adım yapmak hata yapma ihtimalini azaltır.

Kuralların Özet Tablosu

Kendini Dene

Önce soruyu kendin çöz, sonra cevaba tıklayarak kontrol et.