Asal Çarpanlara Ayırma Açık Uçlu Çözümlü Sorular 8. Sınıf

Soru 1
50’nin kaç tane doğal sayı çarpanı vardır? 50’nin çarpanları;
1 x 50
2 x 25
5 x 10 dur.
50 sayısının 1, 2, 5, 10, 25 ve 50 olmak üzere 6 tane doğal sayı çarpanı vardır.

2.Yol:
50 = 2 x 5 x 5 = 2¹ x 5²
Çarpan sayısını bulmak için asal çarpanların üslerini birer arttırıp çarparız:
(1+1) x (2+1) = 2 x 3 = 6

Soru 2
81 sayısının en küçük doğal sayı çarpanı kaçtır? En küçük doğal sayı çarpan her zaman 1’dir.

Soru 3
75 sayısının kaç farklı asal çarpanı vardır? 75’i asal çarpanlarına ayıralım:
75 = 3 x 5 x 5 = 3¹ x 5²
Farklı asal çarpanlar 3 ve 5’tir.
2 farklı asal çarpanı vardır.

Soru 4
75 sayısının pozitif tam sayı çarpanlarının toplamını bulunuz. 75 sayısının pozitif tam sayı çarpanları;
1 x 75
3 x 25
15 x 5 dir.
Pozitif tam sayı çarpanlarının toplamı ise;
1 + 3 + 5 + 15 + 25 + 75 = 124

Soru 5
420 sayısının en büyük asal çarpanı kaçtır? 420’yi asal çarpanlarına ayıralım.
420 | 2
210 | 2
105 | 3
  35 | 5
    7 | 7
    1

420 = 2 x 2 x 3 x 5 x 7
En büyük asal çarpan 7'dir

Soru 6
180 sayısının farklı asal çarpanlarının toplamını bulunuz. 180’i asal çarpanlarına ayıralım.
180 | 2
  90 | 2
  45 | 3
  15 | 3
   5 | 5
   1

180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5
Farklı asal çarpanlar 2, 3 ve 5’tir.
Toplamları: 2 + 3 + 5 = 10

Soru 7
220 sayısının en küçük asal çarpanı ile en büyük asal çarpanının toplamını bulunuz. 220’yi asal çarpanlarına ayıralım.
220 | 2
110 | 2
  55 | 5
  11 | 11
   1
220 = 2 x 2 x 5 x 11
En küçük asal çarpan 2, en büyük asal çarpan 11’dir.
Toplamları 2 + 11 = 13

Soru 8
81 sayısının kaç tane doğal sayı çarpanı vardır? 3 x 27
9 x 9
81 x 1
81 sayısının doğal sayı çarpanları;
1, 3, 9, 27 ve 81 olmak üzere 5 tanedir.

Soru 9
Aşağıda verilen sayıları çarpan ağacı yöntemi ile asal çarpanlarını bulunuz ve üslü ifade olarak eşitini yazınız.
a) 56      b) 96 56’nın asal çarpanları 2 ve 7’dir. Üslü ifade olarak:
56 = 2 x 2 x 2 x 7
56 = 2³ x 7
96’nın asal çarpanları 2 ve 3’tür. Üslü ifade olarak:
96 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3
96 = 2⁵ x 3

Soru 10
2³ . 3² . 7 şeklinde çarpanlarına ayrılan doğal sayıyı bulunuz. Asal çarpanlarını çarparak sayıyı elde ederiz.
2³ . 3² . 7
= 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 7
= 8 x 9 x 7 = 504

Soru 11
Aşağıda verilen sayıların asal çarpanlarını çarpan ağacı yöntemi ile bulunuz.
a) 80      b) 154 a) 80’in asal çarpanları: 2, 2, 2, 2, 5

b) 154’ün asal çarpanları: 2, 7, 11

Soru 12
A = 2⁴ . 3² ve B = 2³ . 3 . 5² şeklinde asal çarpanlarına ayrılan sayıların A ve B doğal sayılarının toplamını bulunuz. Önce A ve B sayılarını hesaplayalım.
A = 2⁴ . 3²
= 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3
= 16 x 9 = 144

B = 2³ . 3 . 5²
= 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5
= 8 x 3 x 25 = 600
A + B = 144 + 600 = 744

Soru 13
300 sayısının farklı asal çarpanlarının çarpımı kaçtır? Önce 300’ü asal çarpanlarına ayıralım.
300 | 2
150 | 2
  75 | 3
  25 | 5
    5 | 5
    1

300 = 2 x 2 x 3 x 5 x 5
300'ün farklı asal çarpanları: 2, 3, ve 5 tir.
Çarpımı ise: 2 x 3 x 5 = 30

Soru 14
180 sayısının asal çarpanlarının üsleri çarpımı kaçtır? 180 | 2  
  90 | 2
  45 | 3
  15 | 3
    5 | 5
    1
Asal çarpanlar: 2², 3², 5¹
Üslerin çarpımı: 2 x 2 x 1 = 4

Soru 15
1’den 10’a kadar olan sayılardan kaç tanesinin asal çarpan sayısı 1’dir? Asal sayıların asal çarpan sayısı 1’dir.
1’den 10’a kadar olan asal sayılar: 2, 3, 5, 7
1’den 10’a kadar olan sayılardan 4 tanesinin asal çarpan sayısı 1’dir.

Soru 16
250 sayısının farklı asal çarpanlarının toplamı kaçtır? Önce 250’yi asal çarpanlarına ayıralım.
250 | 2
125 | 5
  25 | 5
    5 | 5
    1
250 = 2 x 5 x 5 x 5
250’nin farklı asal çarpanları: 2 ve 5 tir.
Farklı asal çarpanlarının toplamı: 2 + 5 = 7

Soru 17
Aşağıdaki sayıları asal çarpanlar algoritması kullanarak asal çarpanlarına ayırıp tabanı asal sayı olacak şekilde üslü ifade eşitini yazınız.
a) 135     b) 360 Asal çarpanlar algoritması, bir sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölebildiğimiz kadar bölerek asal çarpanlarını bulmamızı sağlar.
a) 135
135 | 3
  45 | 3
  15 | 3
    5 | 5
    1
135'in asal çarpanları: 3, 3, 3, 5
Üslü ifade olarak yazalım: 3³ . 5¹

b) 360
360 | 2
180 | 2
  90 | 2
  45 | 3
  15 | 3
    5 | 5
    1
360'ın asal çarpanları: 2, 2, 2, 3, 3, 5
Üslü ifade olarak yazalım: 2³ . 3² . 5¹

Soru 18
Yandaki bölen listesine göre A = ? 1’den başlayıp çapraz çarparak verilmeyen harfler bulunur.
D = 1 x 5 = 5
C = 3 x 5 = 15
B = 3 x 15 = 45
A = 2 x 45 = 90

Soru 19
Aşağıdaki pozitif tam sayıları tabanları asal sayı olacak şekilde üslü ifade ya da üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazınız.
a) 675 =
b) 784 =
c) 1125 =

Soru 20
Aşağıda verilen sayıları asal çarpanlarına ayırarak üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazın:
a) 120     b) 144     c) 200     a) 120’nin asal çarpanları:
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
120 = 2³ x 3¹ x 5¹

b) 144’ün asal çarpanları:
144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
144 = 2⁴ x 3²

c) 200’ün asal çarpanları:
200 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5
200 = 2³ x 5²

Soru 21
270 sayısının en büyük asal çarpanı ile en küçük asal çarpanının farkı kaçtır? 270’i asal çarpanlarına ayırdığımızda 2¹ . 3³ . 5¹ şeklinde yazabiliriz.
270’in en büyük asal çarpanı 5, en küçük asal çarpanı 2’dir.
En büyük asal çarpan - En küçük asal çarpan = 5 - 2 = 3

Soru 22
Aşağıda verilen ifadelerden doğru olanların başına “D”, yanlış olanların başına “Y” yazınız.
a) (    ) 120 sayısının en büyük pozitif tam sayı çarpanı 60’tır.
b) (    ) 120 sayısının en büyük asal çarpanı 15’tir.
c) (    ) 120 sayısının asal çarpanları toplamı 10’dur.
d) (    ) 120 sayısının 10 tane pozitif tam sayı çarpanı vardır. Öncelikle 120 sayısının asal çarpanlarını bulalım: Sonuç olarak, 120 = 2³ . 3 . 5 olur.
a) (Y) 120 sayısının en büyük pozitif tam sayı çarpanı 60 değildir, bu 120’dir.
b) (Y) 120 sayısının en büyük asal çarpanı 15 değil, 5’tir. 15 sayısı asal sayı değildir.
c) (D) 120 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5’tir.
Toplamları 2 + 3 + 5 = 10 eder.
d) (Y) 120 sayısının 10 değil, 16 tane pozitif tam sayı çarpanı vardır. İlk önce kısa yoldan bulalım.
120 = 2³ . 3¹ . 5¹ (Üsleri 1 arttırarak çarparız.)
(3 + 1).(1 + 1).(1 + 1)
= 4 . 2 . 2 = 16
Pozitif tam sayı çarpanları aşağıda verilmiştir.
1 x 120
2 x 60
3 x 40
4 x 30
5 x 24
6 x 20
8 x 15
10 x 12
Bu sayılar;
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 ve 120 olmak üzere 16 tanedir.

Soru 23
400 = 2^a . 5^b
Yukarıda verilen eşitliğe göre a + b işleminin sonucu kaçtır? 400’ün asal çarpanlarını bulalım.
400 | 2
200 | 2
100 | 2
  50 | 2
  25 | 5
    5 | 5
    1
Üslü şekilde yazdığımızda a ve b harflerine karşılık gelen sayıları buluruz.
400 = 2⁴ . 5²
Bu durumda a = 4, b = 2 olur.
Toplamları ise 4 + 2 = 6

Soru 24
Aşağıda verilen sayıları çarpan ağacı yöntemi ile asal çarpanlarını bulunuz ve üslü ifade olarak eşitini yazınız.
a) 108          b) 450

Soru 25
Asal çarpanlarına ayrılmış hâli 3³ . 5² . 7 olan doğal sayıyı bulunuz. 3³ . 5² . 7
= (3 . 3 . 3) . (5 . 5) . 7
= (27) . (25) . 7
= 675 . 7
= 4725