Çarpanlar, Katlar ve EBOB-EKOK Konu Özeti
Asal sayılardan EBOB ve EKOK’a, üslü ifadelerden pratik çözüm taktiklerine kadar konunun tamamı örneklerle bu sayfada.
Çarpanlar ve Katlar
Her doğal sayı iki doğal sayının çarpımı olarak yazılabilir. Bu doğal sayılara o sayının çarpanları denir. Bir doğal sayının çarpanları aynı zamanda bölenleridir.
İki Doğal Sayının Çarpımı Yöntemi
Örneğin 90 sayısının çarpanlarını bu yöntemle bulalım:
90 = 18 · 5 90 = 15 · 6 90 = 10 · 9
Bölenleri Sıralama Yöntemi
90 sayısının tüm bölenleri küçükten büyüğe sıralanır:
Asal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma
1 ve kendisinden başka böleni olmayan, 1’den büyük doğal sayılara asal sayı denir. Bir doğal sayının çarpanlarından asal olanlarına o sayının asal çarpanları denir.
En küçük asal sayı 2’dir. 2’den başka çift asal sayı yoktur.
Çarpan Ağacı Yöntemi
90 sayısını çarpan ağacı ile asal çarpanlarına ayıralım:
Ağacın son dalındaki asal sayılar 90’ın asal çarpanlarıdır. Bu durumda 90 = 2 · 32 · 5 biçiminde yazılır.
Asal Çarpan Algoritması Yöntemi
Aynı sonuca aşağıdaki gibi bir bölme algoritması ile de ulaşılabilir:
| 90 | 2 |
| 45 | 3 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
Çizginin sağındaki asal sayılar 90’ın asal çarpanlarıdır: 90 = 2 · 3² · 5
İki basamaklı bir doğal sayı 2, 3, 5 ve 7’ye kalansız bölünemiyorsa asal sayıdır. Örneğin 97 sayısı 2, 3, 5 ve 7’ye kalansız bölünemediğinden asaldır.
En Büyük Ortak Bölen (EBOB)
İki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve EBOB şeklinde kısaltılır. a ve b sayılarının EBOB’u, EBOB(a, b) biçiminde gösterilir.
Ortak Bölenleri Bularak EBOB Bulma
20 ve 30 sayılarının EBOB’unu bulalım. Önce her iki sayının bölenleri ayrı ayrı yazılır, ortak olanlar işaretlenir:
20’nin bölenleri: 1, 2, 4, 5, 10, 20 · 30’un bölenleri: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Ortak bölenler arasında en büyüğü 10 olduğundan EBOB(20, 30) = 10’dur.
Asal Çarpan Algoritması ile EBOB
Her iki sayı birlikte asal çarpanlarına ayrılarak da EBOB bulunabilir. Sayılar en küçük asal sayıdan başlanarak bölünür; her iki sayıyı birlikte bölen sayılar işaretlenip çarpılır.
| 20 30 | 2 |
| 10 15 | 5 |
| 2 3 |
EBOB(20, 30) = 2 · 5 = 10
EBOB’un bölenleri, bu iki sayının tüm ortak bölenlerini verir. 10’un bölenleri olan 1, 2, 5 ve 10 sayıları 20 ve 30’un ortak bölenleridir.
En Küçük Ortak Kat (EKOK)
İki veya daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların en küçük ortak katı denir ve EKOK şeklinde kısaltılır.
Ortak Katları Bularak EKOK Bulma
9 ve 12 sayılarının EKOK’unu bulalım:
9’un katları: 9, 18, 27, 36, 45... · 12’nin katları: 12, 24, 36, 48... Ortak katların en küçüğü 36 olduğundan EKOK(9, 12) = 36’dır.
Asal Çarpan Algoritması ile EKOK
| 9 12 | 2 |
| 9 6 | 2 |
| 9 3 | 3 |
| 3 1 | 3 |
| 1 1 |
Bölünme bitince çizginin sağındaki tüm bölenler çarpılır: EKOK(9, 12) = 2 · 2 · 3 · 3 = 36
EKOK’un katları, bu iki sayının tüm ortak katlarını verir. 36’nın katları olan 36, 72, 108... sayıları 9 ve 12’nin ortak katlarıdır.
Üslü sayıların çarpımı şeklinde verilen sayıların EBOB’u bulunurken ortak çarpanlardan üssü küçük olanlar seçilir; EKOK’u bulunurken üssü büyük olanlar ile ortak olmayan tüm çarpanlar çarpılır.
Örneğin A = 2² · 3 · 5³ ve B = 2³ · 3² · 5 ise:
EBOB(A, B) = 2² · 3 · 5 EKOK(A, B) = 2³ · 3² · 5³
EBOB - EKOK Özellikleri
• İki sayıdan biri diğerinin katı ise küçük olan sayı bu sayıların EBOB’u, büyük olan sayı ise EKOK’udur.
• İki sayının EBOB ve EKOK’unun çarpımı, bu iki sayının çarpımına eşittir: A · B = EKOK(A, B) · EBOB(A, B)
• İki sayının ortak böleni yoksa bu sayıların EBOB’u 1, EKOK’u ise çarpımlarına eşittir.
Aralarında Asal Sayılar
1’den başka ortak böleni olmayan iki pozitif tam sayıya aralarında asal sayılar denir.
Sayıların aralarında asal olması için kendilerinin asal sayı olması gerekmez. Herhangi iki asal sayı da her zaman aralarında asaldır. Örneğin 13 ile 17 aralarında asaldır: EBOB(13, 17) = 1, EKOK(13, 17) = 221’dir.
EBOB ve EKOK Problemleri Nerede Kullanılır?
Bir bütün eşit parçalara ayrılıyorsa EBOB kullanılır:
- Bir çuvaldaki maddeler eşit kapasiteli poşetlere ayrılırsa
- Bir tarlanın etrafına eşit aralıklarla ağaç dikilirse
- Bir top kumaş eş parçalara ayrılırsa
- Bir zemine kare fayans döşenirse
Dikdörtgen bir zeminin eş karelere bölünmesi (EBOB uygulaması)
Parçadan bütün elde edilmesi gereken durumlarda EKOK kullanılır:
- Cevizler, fındıklar veya kalemler eşit gruplara paylaştırılacaksa
- Dikdörtgen şekiller yan yana ve üst üste dizilerek kare elde edilecekse
- Otobüsler, vapurlar belirli aralıklarla hareket ediyorsa
- Ziller belirli aralıklarla çalıyorsa
Yolculuk tamam! Şimdi çözümlü testlerle ve etkinliklerle konuyu pekiştirebilirsin.
Henüz yorum yapılmamış. İlk yorum yapan siz olun!