8. Sınıf Kareköklü İfadeler Çözümlü Test Soruları

Pay kısmındaki köklü ifadeleri kök dışına çıkaralım:
\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\)
\(\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}\)

Bulduğumuz değerleri kesirde yerine yazalım:
\(\dfrac{2\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)

Pay ve paydadaki \(\sqrt{3}\) ifadelerini sadeleştirelim:
\(2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}\) bulunur.

4225 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
\(4225=5\cdot5\cdot13\cdot13\)
\(\sqrt{4225}=\sqrt{5^2\cdot13^2}\)
\(=5\cdot13=65\)

Bir tam sayının karesi olan sayılara tam kare sayılar denir.
Seçeneklerdeki sayıları inceleyelim:
A) \(10^2 = 100\) olduğundan 100 tam karedir.
B) 99 herhangi bir tam sayının karesi değildir.
C) \(2^2 = 4\) olduğundan 4 tam karedir.
D) \(1^2 = 1\) olduğundan 1 tam karedir.

Bu durumda 99 tam kare bir sayı değildir.

Verilen seçeneklerdeki ifadelerin katsayılarını kök içine alarak değerlerini bulalım:
A) \(6\sqrt{2} = \sqrt{6^2 \cdot 2} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{72}\)
B) \(12\sqrt{3} = \sqrt{12^2 \cdot 3} = \sqrt{144 \cdot 3} = \sqrt{432}\)
C) \(2\sqrt{18} = \sqrt{2^2 \cdot 18} = \sqrt{4 \cdot 18} = \sqrt{72}\)
D) \(3\sqrt{8} = \sqrt{3^2 \cdot 8} = \sqrt{9 \cdot 8} = \sqrt{72}\)

Bu durumda \(12\sqrt{3}\) ifadesi \(\sqrt{72}\) ifadesine eşit değildir.

49 sayısının karekökü:
\(\sqrt{49} = 7\)

Bulunan sayının karesi:
\(7^2 = 49\) bulunur.

Kareköklü sayıları sıralamak için tüm sayıları kök içine alalım:
\(\sqrt{37}\) zaten kök içindedir.
\(3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\)
\(6\sqrt{2} = \sqrt{6^2 \cdot 2} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{72}\)

Kök içindeki sayıları büyükten küçüğe sıralayalım:
\(72 > 45 > 37\) olduğundan,
\(\sqrt{72} > \sqrt{45} > \sqrt{37}\) yani
\(6\sqrt{2} > 3\sqrt{5} > \sqrt{37}\) bulunur.

119 sayısından küçük ve büyük olan en yakın tam kare sayıları belirleyelim:
\(10^2 = 100\)
\(11^2 = 121\)

Buna göre \(\sqrt{119}\) sayısı \(\sqrt{100}\) ile \(\sqrt{121}\) arasındadır:
\(10 < \sqrt{119} < 11\)

119 sayısı 121’e (fark 2), 100’e göre (fark 19) çok daha yakın olduğu için \(\sqrt{119}\) sayısına en yakın tam sayı 11 bulunur.

Seçeneklerde verilen işlemleri tek tek inceleyelim:
A) \(\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\) olur, ifade yanlıştır. ❌
B) \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5}\) olur, ifade yanlıştır. ❌
C) Kök içleri farklı olan köklü sayılar doğrudan toplanıp tek kök içine yazılamaz, ifade yanlıştır. ❌
D) \(3\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}\)
= \((3 \cdot 4) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})\)
= \(12 \cdot 3 = 36\) olur.✔️

Köklü sayılarda çarpma işlemini sırayla yapalım:
\(\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5\)
Bulduğumuz 5 değerini kalan \(\sqrt{5}\) ile çarpalım:
\(5 \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5}\) bulunur.

\(2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\)
Katsayıları kendi arasında, kök içindeki sayıları kendi arasında çarpalım:
= \((2 \cdot 4 \cdot 1) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3})\)
Katsayılar çarpımı:
\(2 \cdot 4 \cdot 1 = 8\)
Köklü ifadeler çarpımı:
\(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}\)
Değerleri birbiriyle çarpalım:
\(8 \cdot 3\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\) bulunur.

Kök içleri aynı olan ifadelerde toplama ve çıkarma yapılırken katsayılar arasında işlem yapılır:
\(9\sqrt{3} - 5\sqrt{3} + \sqrt{3} \)
= \((9 - 5 + 1)\sqrt{3}\)
= \(5\sqrt{3}\) bulunur.

\(\dfrac{12\sqrt{5} \cdot 5\sqrt{3}}{6\sqrt{5}}\)
Pay ve paydadaki \(\sqrt{5}\) ifadeleri birbiriyle sadeleşir:
\(\dfrac{12 \cdot 5\sqrt{3}}{6}\)
12 yi 6 ile sadeleştirerek kalan sayıları çarpalım:
\(2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}\) bulunur.

Katsayıları kendi arasında, kök içlerini kendi arasında çarpalım:
\((2 \cdot 3 \cdot 2) \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{6})\)
\(12\sqrt{36}\)
12 ⋅ 6 = 72

İç içe köklü ifadelerde işleme en içteki kökten başlanır:
En içteki kök:
\(\sqrt{9} = 3\)
Orta kısımdaki kök içi işlemi:
\(28 − 3 = 25\)
\(\sqrt{25} = 5\)
En dıştaki kök içi işlemi:
\(11 + 5 = 16\)
\(\sqrt{16} = 4\) bulunur.

Çarpma ve bölme işlemlerini tek bir kök altında birleştirerek sadeleştirelim:
\(\sqrt{\dfrac{27 \cdot 72 \cdot 28}{3 \cdot 14 \cdot 12}}\)

Kök içindeki kesirde uygun sadeleştirmeleri yapalım:
\(\dfrac{27}{3} = 9\)
\(\dfrac{72}{12} = 6\)
\(\dfrac{28}{14} = 2\)

Elde edilen değerleri kök içinde çarpalım:
\(\sqrt{9 \cdot 6 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 12} = \sqrt{108}\)
\(\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}\) bulunur.