8. Sınıf Kareköklü İfadeler Çözümlü Test 2

Köklü ifadeleri \(a\sqrt{b}\) biçiminde yazalım:
\(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\)
\(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\)
\(\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}\)

Katsayılar arasında toplama ve çıkarma işlemlerini yapalım:
\(6\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 4\sqrt{2}\)
\(= (6 + 5 - 4)\sqrt{2} = 7\sqrt{2}\)

90 sayısından küçük ve büyük olan en yakın tam kare sayıları belirleyelim:
9² = 81
10² = 100
81 < 90 < 100 olduğundan:
\(\sqrt{81} < \sqrt{90} < \sqrt{100}\)
9 < \(\sqrt{90}\) < 10
Buna göre \(\sqrt{90}\) sayısı 9 ile 10 arasındadır.

Sıralama yapabilmek için tüm sayıların katsayılarını kök içine alalım:
a = \(3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\)
b = \(2\sqrt{11} = \sqrt{2^2 \cdot 11} = \sqrt{4 \cdot 11} = \sqrt{44}\)
c = \(4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}\)
Kök içindeki sayılara göre küçükten büyüğe sıralayalım:
44 < 45 < 48 olduğundan
b < a < c sıralaması elde edilir.

Çarpma ve bölme işlemlerini tek kök altında birleştirelim:
\(\dfrac{\sqrt{48} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{8}} = \sqrt{\dfrac{48 \cdot 6}{8}}\)
Kök içindeki kesirde 48 ile 8 sayılarını sadeleştirelim:
\(\dfrac{48}{8} = 6\)
Kalan sayıları kök içinde çarpıp dışarı çıkaralım:
\(\sqrt{6 \cdot 6} = \sqrt{36} = 6\)

Ondalık sayıları rasyonel sayıya çevirerek kök dışına çıkaralım:
\(\sqrt{0{,}49} = \sqrt{\dfrac{49}{100}} = \dfrac{7}{10} = 0{,}7\)
\(\sqrt{1{,}21} = \sqrt{\dfrac{121}{100}} = \dfrac{11}{10} = 1{,}1\)
\(\sqrt{0{,}04} = \sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\)

İşlemleri sırayla yapalım:
0,7 + 1,1 − 0,2
= 1,8 − 0,2 = 1,6

Seçeneklerdeki sayıları inceleyelim:
A) \(\sqrt{0{,}36} = \sqrt{\dfrac{36}{100}} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6\) (Rasyonel)
B) \(\sqrt{1{,}6} = \sqrt{\dfrac{16}{10}} = \dfrac{4}{\sqrt{10}}\) (Kökten tam çıkamaz, irrasyonel)
C) \(\sqrt{\dfrac{9}{16}} = \dfrac{3}{4}\) (Rasyonel)
D) \(\sqrt{144} = 12\) (Rasyonel)

Bu durumda \(\sqrt{1{,}6}\) irrasyonel sayıdır.

Katsayıları kök içine alarak a ve b değerlerini belirleyelim:
\(5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}\)
\(\sqrt{75} = \sqrt{a}\) ise a = 75

\(2\sqrt{7} = \sqrt{2^2 \cdot 7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}\)
\(\sqrt{28} = \sqrt{b}\) ise b = 28
İki sayının toplamını bulalım:
a + b = 75 + 28 = 103

Parantez içindeki \(\sqrt{27}\) ifadesini \(a\sqrt{b}\) biçiminde yazıp toplayalım:
\(\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}\)
\(\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\)

\(\sqrt{12}\) ifadesini de kök dışına çıkaralım:
\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)

Çarpma işlemini yapalım:
\(2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}\)
= (2 · 4) · (\(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\))
= 8 · 3 = 24

Pay kısmındaki köklü ifadeleri \(a\sqrt{b}\) biçiminde yazalım:
\(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\)
\(\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}\)
Payı toplayıp paydaya bölelim:
\(\dfrac{3\sqrt{5} + 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\)
\(= \dfrac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 5\)

Alanı 98 cm² olan karenin bir kenar uzunluğu alanın kareköküne eşittir:
Bir kenar = \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\) cm

Karenin çevresi 4 kenarının çarpımına eşittir:
Çevre = \(4 \cdot 7\sqrt{2} = 28\sqrt{2}\) cm

Eşitliğin sağ tarafındaki ifadeleri \(a\sqrt{b}\) biçiminde yazalım:
\(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\)
\(\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}\)
Toplama ve çıkarma işlemlerini yapalım:
\(2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 3\sqrt{5}\)

\(\sqrt{x} = 3\sqrt{5}\) eşitliğinde 3 katsayısını kök içine alalım:
\(3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\)

\(\sqrt{x} = \sqrt{45}\) olduğuna göre x = 45

\(\sqrt{12}\) ifadesini \(a\sqrt{b}\) biçiminde yazalım:
\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\)
Bu sayının bir doğal sayı olabilmesi için kök içi \(\sqrt{3}\) olan bir ifade ile çarpılması gerekir.
Seçenekler arasında kök içinde \(\sqrt{3}\) kalan sadece A seçeneğidir.
A) \(\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}\)
Çarpımı yapalım:
\(2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3}\)
= 6 · 3
= 18 (Doğal sayı)

Birinci terimde paydayı rasyonel yapmak için kesri \(\sqrt{3}\) ile genişletelim:
\(\dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\)

İkinci terimi \(a\sqrt{b}\) biçiminde yazalım:
\(\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}\)
İki ifadeyi toplayalım:
\(2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\)

İç içe köklerde işleme en içteki kökten başlanır:
\(\sqrt{16} = 4\)
\(\sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3\)
\(\sqrt{7 - 3} = \sqrt{4} = 2\)
\(\sqrt{11 - 2} = \sqrt{9} = 3\)

Kesirdeki bölme işlemini tek kök içine alıp virgülden kurtaralım:
\(\dfrac{\sqrt{0{,}18}}{\sqrt{0{,}02}} = \sqrt{\dfrac{0{,}18}{0{,}02}} = \sqrt{\dfrac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3\)

İkinci çarpanı kök dışına çıkaralım:
\(\sqrt{0{,}64} = \sqrt{\dfrac{64}{100}} = \dfrac{8}{10} = 0{,}8\)
Değerleri çarpalım:
3 · 0,8 = 2,4

Köklü ifadeleri \(a\sqrt{b}\) biçiminde yazalım:
\(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\)
\(\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}\)

Katsayılar ile çarpıp toplayalım:
\(2 \cdot 3\sqrt{5} + 3 \cdot 4\sqrt{5}\)
\(= 6\sqrt{5} + 12\sqrt{5}\)
\(= 18\sqrt{5}\)

En içteki kökün içindeki işlemi bileşik kesre çevirelim ve kök dışına çıkaralım:
1 + \(\dfrac{7}{9}\) = \(\dfrac{16}{9}\)
\(\sqrt{\dfrac{16}{9}} = \dfrac{4}{3}\)
Dıştaki kökün içindeki tam sayılı kesri bileşik kesre çevirip toplayalım:
2\(\dfrac{2}{3}\) = \(\dfrac{8}{3}\)

\(\dfrac{8}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{12}{3} = 4\)
Sonucu kök dışına çıkaralım:
\(\sqrt{4} = 2\)

Tüm köklü ifadeleri \(a\sqrt{3}\) biçiminde yazalım:
\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)
\(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\)
\(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\)
\(\sqrt{75} = 5\sqrt{3}\)

Katsayılar arasında işlemleri yapalım:
\(2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 5\sqrt{3}\)
\(= (2 + 3 - 4 + 5)\sqrt{3}\)
\(= 6\sqrt{3}\)

Köklü ifadeleri \(a\sqrt{6}\) biçiminde yazalım:
\(\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}\)
\(\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}\)
\(\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}\)

İfadeleri toplayalım:
\(2\sqrt{6} + 3\sqrt{6} + 4\sqrt{6} = 9\sqrt{6}\)

a = \(\sqrt{2}\) ve b = \(\sqrt{3}\) olduğuna göre:
\(\sqrt{6} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = a \cdot b\)

İfadeyi yerine yazalım:
\(9\sqrt{6} = 9ab\)

Tüm ifadeleri \(a\sqrt{2}\) biçiminde yazalım:
Pay kısmı:
\(\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2}\)
\(= (1 + 2 + 3 + 4)\sqrt{2}\)
\(= 10\sqrt{2}\)

Payda kısmı:
\(\sqrt{50} - \sqrt{2}\)
\(= 5\sqrt{2} - \sqrt{2}\)
\(= 4\sqrt{2}\)

Payı paydaya bölelim:
\(\dfrac{10\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2}\)