8. Sınıf Kareköklü İfadelerde Çarpma ve Bölme İşlemi Çözümlü Test Soruları

Kareköklü sayılarda çarpma ve bölme işlemlerini tek bir ortak kök altında birleştirebiliriz:
\(\dfrac{\sqrt{18} \cdot \sqrt{24}}{\sqrt{12}} = \sqrt{\dfrac{18 \cdot 24}{12}}\) (Kök içindeki 24 ile 12 sayılarını sadeleştirirsek)

\(\sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36}\)
\(\sqrt{36} = 6\) bulunur.

Katsayılar kendi arasında, kök içindeki sayılar kendi arasında çarpılır:
\(2\sqrt{15} \cdot 3\sqrt{10} = (2 \cdot 3) \cdot \sqrt{15 \cdot 10} = 6 \cdot \sqrt{150}\)

\(150\) sayısını tam kare çarpanı dışarı çıkacak şekilde yazalım:
\(\sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}\)

İfadeyi katsayı ile çarpalım:
\(6 \cdot 5\sqrt{6} = 30\sqrt{6}\)

İşlem önceliğine göre önce kesirli bölme işlemini yapalım:
\(\dfrac{6\sqrt{40}}{3\sqrt{10}} = \dfrac{6}{3} \cdot \sqrt{\dfrac{40}{10}} = 2 \cdot \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4\)

Elde edilen sonucu \(\sqrt{3}\) ile çarpalım:
\(4 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}\)

Bölme işlemini tek kök altında toplayalım:
\(\dfrac{\sqrt{1{,}44}}{\sqrt{0{,}09}} = \sqrt{\dfrac{1{,}44}{0{,}09}}\)

Ondalık gösterimleri virgülden kurtarmak için kesrin pay ve paydasını \(100\) ile genişletelim:
\(\sqrt{\dfrac{144}{9}} = \dfrac{12}{3} = 4\)

İlk olarak üslü ifadenin değerini bulalım:
\((3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 =\) 9 ⋅ 2 = 18

\(\sqrt{8}\) ifadesini kök dışına çıkaralım:
\(\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}\)

Bulunan değerleri çarpalım:
\(18 \cdot 2\sqrt{2} = 36\sqrt{2}\)

İşlemleri sırayla yapalım:
İlk çarpma işlemi:
\(\sqrt{5} \cdot \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10\)

Bölme işlemi:
\(\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{72}{2}} = \sqrt{36} = 6\)

Sonuçları birbirinden çıkaralım:
\(10 - 6 = 4\)

Eşitliğin her iki tarafını \(\sqrt{12}\) ifadesine bölelim:
x = \(\dfrac{6\sqrt{6}}{\sqrt{12}}\)

Paydadaki \(\sqrt{12}\) ifadesini \(a\sqrt{b}\) biçiminde yazalım:
\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)

Bölme işleminde yarine yazarak işlemi yapalım:
x = \(\dfrac{6\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{6}{2} \cdot \sqrt{\dfrac{6}{3}} = 3\sqrt{2}\)

İşlemdeki tüm terimleri tek bir kök altında birleştirelim:
\(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{12}} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{\dfrac{3 \cdot 6 \cdot 8}{2 \cdot 12}}\)

Kök içindeki pay ve paydayı sadeleştirelim:
\(\sqrt{\dfrac{144}{24}} = \sqrt{6}\)

Pay ve paydadaki köklü ifadeleri \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazalım:
\(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
\(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\)
\(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)
\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)
\(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)

Bulunan değerleri kesirde yerine koyalım:
\(\dfrac{2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{2}}{2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{2}}\)
Pay ve paydadaki ortak terimleri (2, 3, \(\sqrt{2}\) ve \(\sqrt{3}\)) sadeleştirirsek:
Kalan ifade: \(5\sqrt{2}\) olur.

Çarpımı kolaylaştırmak için köklü ifadeleri uygun ikililer halinde eşleştirelim:
\(\sqrt{4} = 2\)
\(\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4\)
\(\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6\)

Eşleşmeyen geriye sadece \(\sqrt{6}\) kalır:
Tüm değerleri çarpalım:
\(2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sqrt{6} = 48\sqrt{6}\)

Verilen a, b ve c değerlerini kesirlerde yerlerine yazalım:
Birinci terim:
\(\dfrac{a \cdot c}{b} = \dfrac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{8}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\dfrac{24}{6}} = \sqrt{4} = 2\)

İkinci terim:
\(\dfrac{b \cdot c}{a} = \dfrac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{8}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\dfrac{48}{3}} = \sqrt{16} = 4\)

İki sonucun toplamı:
\(2 + 4 = 6\)

İşlemleri sırayla yapalım:
İlk çarpma işlemi:
\(\sqrt{0{,}5} \cdot \sqrt{0{,}08} = \sqrt{0{,}5 \cdot 0{,}08} = \sqrt{0{,}04} = 0{,}2\)

Bölme işlemi:
\(\dfrac{\sqrt{0{,}9}}{\sqrt{0{,}1}} = \sqrt{\dfrac{0{,}9}{0{,}1}} = \sqrt{9} = 3\)

Bulunan değerleri toplayalım:
\(0{,}2 + 3 = 3{,}2\)

Verilen ilk eşitlikten \(\sqrt{a}\) değerini bulalım:
\(\sqrt{a} \cdot \sqrt{18} = 12\)
\(\sqrt{a} \cdot 3\sqrt{2} = 12\)
\(\sqrt{a} = \dfrac{12}{3\sqrt{2}} = \dfrac{4}{\sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\)

İkinci eşitlikten \(\sqrt{b}\) değerini bulalım:
\(\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{3}\)
\(\sqrt{b} = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{6}\)

Bizden istenen \(\sqrt{a \cdot b}\) ifadesi \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) biçiminde yazılır:
\(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = 2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{6} = 6\sqrt{12} = 6 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\)

Kök içindeki sayıları \(a\sqrt{b}\) biçiminde yazalım:
\(\sqrt{75} = 5\sqrt{3}\)
\(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
\(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)

İfadeleri kesirde yerine koyalım ve ortak çarpanları sadeleştirelim:
\(\dfrac{5\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}}{\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{2}}\)= \(2\sqrt{2}\)

Paydadaki \(5\) ile paydaki \(5\), paydadaki \(\sqrt{3}\) ile paydaki \(\sqrt{3}\), paydadaki \(\sqrt{2}\) ile paydaki \(\sqrt{2}\) sadeleşir.

Kesrin payındaki köklü ifadeleri \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazalım:
\(\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}\)
\(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\)
\(\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}\)

Pay kısmındaki toplama işlemini yapalım:
\(2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 9\sqrt{5}\)

Kesri \(\sqrt{5}\) ifadesine bölelim:
\(\dfrac{9\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 9\)

Bulunan sonucu parantez dışındaki \(\sqrt{2}\) ile çarpalım:
\(9 \cdot \sqrt{2} = 9\sqrt{2}\)