7. Sınıf Matematik: Cisimlerin Farklı Yönlerden Görünümleri Konu Anlatımı
7. sınıf matematik dersinin Geometrik Nicelikler temasında yer alan cisimlerin farklı yönlerden görünümleri konu anlatımında, eş küplerle oluşturulan yapıların önden, arkadan, sağdan, soldan, üstten ve alttan görünümlerinin nasıl çizildiğini öğreneceksiniz. Konu anlatımında görünümlerdeki kare sayılarını belirlemeyi, ön-arka, sağ-sol ve üst-alt görünümler arasındaki simetri ilişkisini ve önden, sağdan, üstten görünümleri verilen bir yapının en az kaç eş küple oluşturulabileceğini adım adım inceleyeceğiz.
Sayfanın ortasındaki interaktif etkinlikte eş küplerle kendi yapınızı kurup altı yönden görünümlerini anında görebilir, konunun sonundaki çözümlü örneklerle cisimlerin farklı yönlerden görünümleri konusunu pekiştirebilirsiniz.
İçindekiler
- Cisimlere farklı yönlerden bakmak
- Eş küplerle oluşturulan yapılarda yönler
- Görünüm nedir, nasıl çizilir?
- Görünümlerdeki kare sayısı
- Görünümler arasındaki simetri ilişkisi
- Etkinlik: Eş küplerle yapı kur, altı yönden incele
- Görünümlerden yapıyı belirleme ve en az küp sayısı
- Görünmeyen küpler
- Çözümlü örnekler
- Sık yapılan hatalar
- Özet
1. Cisimlere farklı yönlerden bakmak
Aynı cisme farklı yerlerden baktığımızda farklı şekiller görürüz. Örneğin Anıtkabir'i tam karşıdan fotoğrafladığımızda ön cephedeki sütunları görürüz; yandan çekilen bir fotoğrafta ise yapının uzun yan cephesi ve çok daha fazla sütun görünür. Yapı aynıdır, değişen yalnızca bakış açımızdır.
Yolun iki yanına sıralanmış ağaçlar da buna iyi bir örnektir. Bir kenardan bakıldığında bir taraftaki ağaçların art arda dizildiği açıkça görülürken, diğer taraftaki ağaçlar tam hizada oldukları için tek bir ağaç gibi algılanabilir. Bu nedenle bir cismi yalnızca tek bir yönden değerlendirmek yanlış yorumlara yol açabilir.
Bir cismin şeklini doğru yorumlayabilmek için ona birden fazla yönden bakmak gerekir. Matematikte bu durumu eş küplerle oluşturulan yapıların farklı yönlerden görünümleri üzerinden inceleriz.
2. Eş küplerle oluşturulan yapılarda yönler
Eş küplerle oluşturulan bir yapıya altı farklı yönden bakabiliriz: önden, arkadan, sağdan, soldan, üstten ve alttan. Görünümleri doğru çizebilmek için önce yapının hangi tarafının "ön" olduğunu belirlemek gerekir. Sınıfta çalışırken yönleri gösteren bir kâğıdın üzerine yapıyı yerleştirmek, hangi yönden bakıldığı konusunda karışıklığı önler. Yapının önü belli olunca diğer yönler de kendiliğinden belirlenir: önün karşısı arka, önden bakan kişinin sağ eli tarafı sağ, sol eli tarafı sol yöndür.
Kitaplarda yapılar genellikle izometrik kâğıda çizilir. Bu çizimlerde yapının önü sol alt köşeye, sağ yüzü sağ alt köşeye bakar. Aşağıdaki yapıyı bu konu anlatımı boyunca örnek olarak kullanacağız.
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 2 | 1 |
| 2 | 3 | 1 |
Sağdaki tablo yapının kat haritasıdır. Kat haritası, yapıya tepeden bakıyormuş gibi çizilen bir ızgaradır; üst kenarı yapının arkasını, alt kenarı önünü gösterir. Her karedeki sayı, o noktada üst üste kaç küp bulunduğunu söyler. Kat haritasındaki sayıların toplamı yapıdaki küp sayısını verir: 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 1 = 11.
3. Görünüm nedir, nasıl çizilir?
Bir yapının belirli bir yönden görünümü, o yönden tam karşıdan bakıldığında görülen şeklin kareli kâğıda çizilmiş hâlidir. Tam karşıdan bakıldığında küplerin yalnızca bize dönük yüzleri görünür; bu yüzler birer kare olduğu için görünümler de yalnızca karelerden oluşur. Görünümlerde derinlik, yani küplerin önde mi arkada mı olduğu gösterilmez.
Önden görünüm
Yapıya önden bakınca soldan sağa her sütunda en yüksek kule görünür. Arkadaki bir küp, önündeki küpten daha yüksekse onun üstünden görünür; daha alçaksa öndeki küpün arkasında kalır ve görünmez. Örnek yapıda soldan sağa sütunların en yüksek kuleleri 2, 3 ve 1 küptür, bu yüzden önden görünümde sırasıyla 2, 3 ve 1 kare yüksekliğinde sütunlar çizilir.
Sağdan görünüm
Yapıya sağdan bakarken yapının önü solunuzda, arkası sağınızda kalır. Bu yüzden sağdan görünümde soldaki sütun en ön sırayı, sağdaki sütun en arka sırayı gösterir. Her sırada en yüksek kule görünür. Örnek yapıda önden arkaya sıraların en yüksek kuleleri 3, 2 ve 1 küptür.
Üstten görünüm
Yapıya tepeden bakınca her kulenin yalnızca en üstteki küpü görünür. Üstten görünüm, küplerin zeminde kapladığı yeri gösterir; kulelerin kaç kat yüksek olduğu bu görünümden anlaşılmaz. Örnek yapının üstten görünümü, kat haritasında 0 olmayan karelerin boyanmasıyla elde edilir.
Önden ve sağdan görünümleri çizerken kat haritasını kullanabilirsiniz: önden görünüm için her sütundaki en büyük sayıyı, sağdan görünüm için her satırdaki en büyük sayıyı alın. Sağdan görünümde en alt satır (ön) en sola çizilir.
4. Görünümlerdeki kare sayısı
Bir görünümde kaç kare olduğunu saymak, görünümü doğru çizip çizmediğimizi kontrol etmenin kolay bir yoludur. Örnek yapının altı yönden görünümlerinde görülen kare sayıları şöyledir:
| Görünüm | Önden | Arkadan | Sağdan | Soldan | Üstten | Alttan |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Görülen kare sayısı | 6 | 6 | 6 | 6 | 7 | 7 |
Yapıda 11 küp olduğu hâlde hiçbir görünümde 11 kare yoktur. Çünkü bir yönden bakıldığında aynı hizadaki küplerden yalnızca biri görünür, diğerleri onun arkasında kalır.
Karşılıklı görünümlerdeki kare sayıları her zaman birbirine eşittir: önden ve arkadan, sağdan ve soldan, üstten ve alttan görünümlerde aynı sayıda kare bulunur. Bunun nedeni bir sonraki bölümde anlatılan simetri ilişkisidir.
5. Görünümler arasındaki simetri ilişkisi
Bir yapıya önden bakan kişi ile arkadan bakan kişi aynı kuleleri görür, ama sağ ve sol taraflar yer değiştirir. Önden bakana göre en solda olan sütun, arkadan bakana göre en sağdadır. Bu yüzden arkadan görünüm, önden görünümün ayna görüntüsüdür. Aynı durum sağdan ve soldan görünümler için de geçerlidir.
Eş küplerle oluşturulan yapıların ön-arka ve sağ-sol görünümleri dikey bir doğruya göre, üst-alt görünümleri ise yatay bir doğruya göre simetriktir.
Bu ilişki sayesinde bir yapının yalnızca önden, sağdan ve üstten görünümlerini bilmek yeterlidir; arkadan, soldan ve alttan görünümler bunların simetriği alınarak çizilebilir. Kesikli kırmızı çizgiler simetri doğrularını gösterir.
6. Etkinlik: Eş küplerle yapı kur, altı yönden incele
Şimdi öğrendiklerinizi deneme zamanı. Aşağıdaki etkinlikte kat haritasına dokunarak eş küplerle kendi yapınızı kurabilirsiniz. Her küp eklediğinizde veya çıkardığınızda yapının altı yönden görünümleri ve görülen kare sayıları kendiliğinden güncellenir.
- Kat haritasında bir kareye dokunun; o noktaya bir küp eklenir. Aynı kareye tekrar dokundukça kule yükselir (en fazla 4 küp).
- Küp çıkarmak için önce Küp çıkar düğmesini seçin, sonra kareye dokunun. Bilgisayarda sağ tıklamak da küp çıkarır.
- Döndürme düğmeleriyle yapıyı çevirip arkada saklanan küpleri görebilirsiniz. Kırmızı Ön yazısı yapının önünü gösterir; döndürmek görünümleri değiştirmez.
- Bir küp ekleyip çıkardığınızda hangi görünümlerin değiştiğini, hangilerinin aynı kaldığını gözlemleyin.
Altı yönden görünümler
Kat haritası
Dokununca küp eklenir; sayı, üst üste kaç küp olduğunu gösterir.
7. Görünümlerden yapıyı belirleme ve en az küp sayısı
Bazı sorularda yapının kendisi verilmez; yalnızca önden, sağdan ve üstten görünümleri verilir ve yapının en az kaç eş küple oluşturulabileceği sorulur. Bu tür soruları kat haritası kullanarak şu adımlarla çözebilirsiniz:
- Üstten görünümle başlayın. Üstten görünümde boyalı olan her kareye kat haritasında en az 1 küp gerekir. Boyalı olmayan karelere küp konamaz.
- Önden görünümü okuyun. Her sütunun yüksekliği, kat haritasında o sütundaki en büyük sayıyı verir.
- Sağdan görünümü okuyun. Her sütunun yüksekliği, kat haritasında ilgili satırdaki en büyük sayıyı verir (sağdan görünümün en solu, kat haritasının en alt satırıdır).
- Kuleleri akıllıca yükseltin. En az küp için yükseltilmesi gereken kuleleri, aynı anda hem bir sütunun hem de bir satırın yüksekliğini karşılayacak yerlere koyun.
- Kontrol edin. Oluşturduğunuz kat haritasının önden, sağdan ve üstten görünümlerinin verilenlerle aynı olduğunu kontrol edin, sonra sayıları toplayın.
Bir kulenin yüksekliği, bulunduğu sütunun önden görünümdeki yüksekliğinden ve bulunduğu satırın sağdan görünümdeki yüksekliğinden büyük olamaz. Her kuleyi bu iki sayıdan küçük olanı kadar yükseltirseniz yapı en fazla sayıda küple oluşturulmuş olur.
8. Görünmeyen küpler
İzometrik kâğıda çizilen bir yapıda yalnızca ön, sağ ve üst yüzler görünür. Yapının arka ve sol tarafında, öndeki küplerin arkasında saklanan başka küpler olabilir. Bu yüzden tek bir çizimden yapının tamamı her zaman kesin olarak belirlenemez; farklı yapılar aynı çizimle gösterilebilir.
Benzer şekilde önden, sağdan ve üstten görünümleri aynı olan birbirinden farklı yapılar da oluşturulabilir. Bu yapılar farklı sayıda küpten oluşabilir; bu nedenle sorularda genellikle yapının en az veya en fazla kaç küple oluşturulabileceği sorulur.
Bir çizimde yapının "en az kaç küpten" oluştuğu sorulduğunda görünen küplerin yanına, görünmeyen ama üstteki küpleri taşımak için mutlaka bulunması gereken küpler de eklenir. Bunların dışında gizli bir küp olmadığı düşünülür.
9. Çözümlü örnekler
Eş küplerle oluşturulan bir yapının önden görünümü aşağıda verilmiştir. Bu yapının arkadan görünümünü çiziniz.
Çözümü göster
Önden görünümde soldan sağa sütunların yükseklikleri 1, 3 ve 2 karedir. Arkadan bakıldığında sağ ve sol yer değiştirir, bu yüzden sütunların sırası tersine döner: soldan sağa 2, 3 ve 1. Arkadan görünüm, önden görünümün dikey bir doğruya göre simetriğidir ve her iki görünümde de 6 kare vardır.
Konu anlatımındaki örnek yapıdan (11 küplü yapı) ortadaki sıranın en sağındaki tek küp çıkarılıyor. Yapının hangi görünümleri değişir?
Çözümü göster
- Önden görünüm değişmez. Çıkarılan küp en sağ sütundadır; bu sütunda öndeki küp aynı yükseklikte olduğu için önden bakıldığında çıkarılan küp zaten onun arkasında kalıyordu.
- Sağdan görünüm değişmez. Çıkarılan küp ortadaki sıradadır; bu sırada 2 küplük bir kule olduğu için sağdan bakıldığında sıranın yüksekliği yine 2'dir.
- Üstten görünüm değişir. Çıkarılan küpün bulunduğu yerde artık küp olmadığından üstten görünümdeki kare sayısı 7'den 6'ya düşer.
Simetri ilişkisi nedeniyle arkadan ve soldan görünümler de değişmez, alttan görünüm ise değişir. Yani yalnızca üstten ve alttan görünümler değişir.
Önden, sağdan ve üstten görünümleri aşağıda verilen yapı en az kaç, en fazla kaç eş küple oluşturulabilir?
Çözümü göster
1. adım: Üstten görünümdeki 9 karenin tamamı boyalıdır. Kat haritasındaki 9 karenin her birine en az 1 küp gerekir, bu da 9 küp eder.
2. adım: Önden görünümde soldan sağa sütun yükseklikleri 2, 1 ve 2'dir. Sol ve sağ sütunlarda en az bir kule 2 kat olmalı, ortadaki sütunda ise hiçbir kule 1 kattan yüksek olamaz.
3. adım: Sağdan görünümde soldan sağa, yani önden arkaya sıra yükseklikleri 2, 2 ve 1'dir. Ön ve orta sıralarda en az bir kule 2 kat olmalı, arka sırada hiçbir kule 1 kattan yüksek olamaz.
4. adım: 2 katlı kule sol ve sağ sütunlarla ön ve orta sıraların kesiştiği yerlere konabilir. İki kule yeterlidir: biri ön sıranın solunda, diğeri orta sıranın sağında. Böylece iki sütunun ve iki sıranın yüksekliği aynı anda sağlanır.
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 2 |
| 2 | 1 | 1 |
En az küp sayısı: 9 + 2 = 11. En fazla küp sayısında ise dört kesişim noktasının hepsine 2 katlı kule konur: 9 + 4 = 13. Bu yapı 11 ile 13 arasında küple oluşturulabilir.
10. Sık yapılan hatalar
- Görünüme derinlik çizmek: Görünümler yalnızca karelerden oluşur. Küplerin yan yüzleri veya eğik çizgiler görünüme eklenmez.
- Arkadaki yüksek kuleyi unutmak: Önden bakınca bir sütunda gördüğümüz yükseklik, o sütundaki en yüksek kuledir. Bu kule en önde olmak zorunda değildir.
- Sağdan görünümde sırayı karıştırmak: Sağdan bakarken yapının önü solda, arkası sağda kalır.
- Arkadan görünümü önden görünümle aynı çizmek: Arkadan görünüm önden görünümün ayna görüntüsüdür; sütunların sırası tersine döner.
- Üstten görünümden yükseklik çıkarmaya çalışmak: Üstten görünüm yalnızca küplerin zeminde nerede olduğunu gösterir; kulelerin yüksekliğini söylemez.
- En az küp sorusunda üstten görünümü unutmak: Üstten görünümde boyalı her karenin altında en az bir küp olmalıdır.
11. Özet
- Eş küplerle oluşturulan bir yapıya önden, arkadan, sağdan, soldan, üstten ve alttan bakılabilir; her yönden farklı bir görünüm elde edilir.
- Görünümler yalnızca karelerden oluşur ve kareli kâğıda çizilir. Bir yönden bakıldığında her hizadaki en yüksek kule görünür.
- Ön-arka ve sağ-sol görünümler dikey bir doğruya göre, üst-alt görünümler yatay bir doğruya göre simetriktir; karşılıklı görünümlerdeki kare sayıları eşittir.
- Önden, sağdan ve üstten görünümleri verilen bir yapı farklı sayıda küple oluşturulabilir. En az küp sayısını bulmak için kat haritası kullanılır.
- Tek bir çizimde yapının arka ve sol tarafında görünmeyen küpler olabilir; bu yüzden bir cismi doğru yorumlamak için birden fazla yönden bakmak gerekir.
Henüz yorum yapılmamış. İlk yorum yapan siz olun!